几何八字模型定理

一、角的8模型初步认识

二、角的八字模型实例运用

三、角的八字模型热点题型

1、如图1、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；

如图2、求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）

2、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D

+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．

解法二、解：∵∠G+∠D＝∠3，∠F+∠C＝∠4，∠E+∠H＝∠2，

∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H＝∠3+∠4+∠2，

∵∠B+∠2+∠1＝180°，∠3+∠5+∠A＝180°，

∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3＝360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝360°．

【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的性质及8字模型，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

四、角的八字模型拓展练习

【解答】解：（1）设BD，CE交于M；AD，CE交于N，

则∠A+∠C＝∠ANE＝∠MND，

∠B+∠E＝∠CMB＝∠DMN，

而∠MND+∠DMN+∠D＝180，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；

（2）∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E值没有变化．

证明：设BD，CE交于M；AD，CE交于N，

则∠A+∠C＝∠ANE＝∠MND，

∠B+∠E＝∠CMB＝∠DMN，

而∠MND+∠DMN+∠D＝180，

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．

【解答】解：连KF，GI，如图，

∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，

∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．

故选：C．

【提示】解：连AG，GD。答案：540度

【解答】解：如图，

四边形ABCN中，∠A+∠B+∠C+∠1＝360°，

四边形MNGF中，∠2+∠3+∠F+∠G＝360°，

∵∠3＝∠D+∠E，∠1+∠2＝180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠D+∠E+∠F+∠G＝720°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．

【解答】解：（1）如图①，连接AD，

由三角形的内角和定理得，∠B+∠C＝∠BAD+∠CDA，

∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝∠BAF+∠BAD+∠CDA+∠D+∠E+∠F

即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，

∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°，

（2）如图②，由（1）方法可得：

∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，

∴∠BAH+∠B+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G+∠H＝（6﹣2）×180°＝720°，

（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F+∠G＝∠GAE+∠FEA，

∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，

∴∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°，

【解答】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；

（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°；

（3）连接BH、DE，

∵由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD＝∠HDE+∠BED，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝五边形CDEFG的内角和+△ABH的内角和＝540°+180°＝720°；

（4）连接ND、NE，

∵由对顶角三角形可知∠1+∠2＝∠NGH+∠EHG，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝六边形BCFGHM的内角和+△AND的内角和+△NDE的内角和＝（6﹣2）×180°+360°＝1080°．